Vyřešit 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x+2y=8$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$3x=-2y+8$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Dosaďte \frac{-2y+8}{3} za x ve druhé rovnici, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Vynásobte číslo 5 číslem \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Přidejte uživatele -\frac{10y}{3} do skupiny -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Odečtěte hodnotu \frac{40}{3} od obou stran rovnice.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{22}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=1$$

V rovnici x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Připočítejte \frac{8}{3} ke -\frac{2}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=2,y=1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a 5x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 5 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Proveďte zjednodušení.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Odečtěte rovnici 15x-12y=18 od rovnice 15x+10y=40 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Přidejte uživatele 15x do skupiny -15x. Členy 15x a -15x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$10y+12y=40-18$$

Přidejte uživatele 10y do skupiny 12y.

$$22y=40-18$$

Přidejte uživatele 40 do skupiny -18.

$$22y=22$$

Vydělte obě strany hodnotou 22.

$$y=1$$

V rovnici 5x-4y=6 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$5x-4=6$$

Připočítejte 4 k oběma stranám rovnice.

$$5x=10$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=1$$