Vyřešit 3w-7=sqrt{8w-7}

$$3 w - 7 = \sqrt { 8 w - 7 }$$

Vyřešte pro: w

$$w=4$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(3w-7\right)^{2}=\left(\sqrt{8w-7}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(3w-7\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$9w^{2}-42w+49=\left(\sqrt{8w-7}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{8w-7} na 2 získáte 8w-7.

$$9w^{2}-42w+49=8w-7$$

Odečtěte 8w od obou stran.

$$9w^{2}-42w+49-8w=-7$$

Sloučením -42w a -8w získáte -50w.

$$9w^{2}-50w+49=-7$$

Přidat 7 na obě strany.

$$9w^{2}-50w+49+7=0$$

Sečtením 49 a 7 získáte 56.

$$9w^{2}-50w+56=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 9w^{2}+aw+bw+56. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-50 ab=9\times 56=504$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 504 produktu.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Řešením je dvojice se součtem -50.

$$a=-36 b=-14$$

Zapište 9w^{2}-50w+56 jako: \left(9w^{2}-36w\right)+\left(-14w+56\right).

$$\left(9w^{2}-36w\right)+\left(-14w+56\right)$$

Koeficient 9w v prvním a -14 ve druhé skupině.

$$9w\left(w-4\right)-14\left(w-4\right)$$

Vytkněte společný člen w-4 s využitím distributivnosti.

$$\left(w-4\right)\left(9w-14\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte w-4=0 a 9w-14=0.

$$w=4 w=\frac{14}{9}$$

Dosaďte 4 za w v rovnici 3w-7=\sqrt{8w-7}.

$$3\times 4-7=\sqrt{8\times 4-7}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota w=4 splňuje požadavky rovnice.

$$5=5$$

Dosaďte \frac{14}{9} za w v rovnici 3w-7=\sqrt{8w-7}.

$$3\times \frac{14}{9}-7=\sqrt{8\times \frac{14}{9}-7}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota w=\frac{14}{9} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-\frac{7}{3}=\frac{7}{3}$$

Rovnice 3w-7=\sqrt{8w-7} má jedinečné řešení.

$$w=4$$