Vyřešit 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Vyřešte pro: n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3n^{2}+an+bn-15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -45 produktu.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -4.

$$a=-9 b=5$$

Zapište 3n^{2}-4n-15 jako: \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Koeficient 3n v prvním a 5 ve druhé skupině.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Vytkněte společný člen n-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte n-3=0 a 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -4 za b a -15 za c.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -4 na druhou.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Opakem -4 je 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{4±14}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 4 do skupiny 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Vydělte číslo 18 číslem 6.

$$n=3$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{4±14}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 14 od čísla 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{-10}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Připočítejte 15 k oběma stranám rovnice.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odečtením čísla -15 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Odečtěte číslo -15 od čísla 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Vydělte číslo 15 číslem 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Vydělte -\frac{4}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{2}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{2}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{2}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Přidejte uživatele 5 do skupiny \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Činitel n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Připočítejte \frac{2}{3} k oběma stranám rovnice.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$