Vyřešit 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

Vyřešte pro: k

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0,223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0,223606798$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 4k^{2}+1.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Pokud chcete výraz \frac{-16k}{4k^{2}+1} umocnit, umocněte čitatel i jmenovatel. Pak teprve proveďte operaci dělení.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Vyjádřete 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} jako jeden zlomek.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Vyjádřete \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) jako jeden zlomek.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Roznásobte \left(-16k\right)^{2}.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Výpočtem -16 na 2 získáte 256.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Vynásobením 3 a 256 získáte 768.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Rozviňte výraz \left(4k^{2}+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

Odečtěte 32 od obou stran.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 768k^{2} číslem 4k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Rozložte 16k^{4}+8k^{2}+1 na součin.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

Pokud chcete sčítat nebo odčítat výrazy, rozšiřte je, aby měly stejné jmenovatele. Vynásobte číslo 32 číslem \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Vzhledem k tomu, že \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} a \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} mají stejného jmenovatele, můžete je odečíst odečtením jejich čitatelů.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Proveďte násobení ve výrazu 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Slučte stejné členy ve výrazu 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Vynásobte obě strany rovnice hodnotou \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

Nahraďtet za k^{2}.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2560, b hodnotou 512 a c hodnotou -32.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

Řešení rovnice t=\frac{-512±768}{5120} při ± je plus a při ± je mínus.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

Od k=t^{2} se řešení získávají vyhodnocením k=±\sqrt{t} pro pozitivní t.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$