Vyřešit 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Rozložit

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Postup řešení

Pokud chcete výraz vynásobit, vyřešte rovnici, ve které se rovná 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -40 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 3. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-2$$

Podle definice kořenového činitele představuje x-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 číslem x+2 a dostanete 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -20 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 3. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=\frac{5}{3}$$

Podle definice kořenového činitele představuje x-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 číslem 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 a dostanete x^{2}+4. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$x^{2}+4=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 0 a c hodnotou 4.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polynom x^{2}+4 není rozložitelný, protože nemá žádné racionální kořeny.

$$x^{2}+4$$

Přepište rozložený výraz pomocí získaných kořenů.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Vyhodnotit

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$