Vyřešit 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0,833333333+3,157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0,833333333-3,157882554i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Odečtěte hodnotu 10 od obou stran rovnice.

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

Odečtením čísla 10 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

Odečtěte číslo 10 od čísla 42.

$$3x^{2}-5x+32=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -5 za b a 32 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -5 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem 32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny -384.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -359.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Opakem -5 je 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 5 do skupiny i\sqrt{359}.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo i\sqrt{359} od čísla 5.

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

Odečtěte hodnotu 42 od obou stran rovnice.

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

Odečtením čísla 42 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3x^{2}-5x=10-42$$

Odečtěte číslo 42 od čísla 10.

$$3x^{2}-5x=-32$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Vydělte -\frac{5}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{5}{6}. Potom přidejte čtvereček -\frac{5}{6} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{6} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Připočítejte -\frac{32}{3} ke \frac{25}{36} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

Činitel x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

Připočítejte \frac{5}{6} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$