Vyřešit 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3x^{2}+ax+bx-60. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -180 produktu.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Řešením je dvojice se součtem -31.

$$a=-36 b=5$$

Zapište 3x^{2}-31x-60 jako: \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Koeficient 3x v prvním a 5 ve druhé skupině.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Vytkněte společný člen x-12 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-12=0 a 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -31 za b a -60 za c.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -31 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 961 do skupiny 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Opakem -31 je 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{31±41}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 31 do skupiny 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Vydělte číslo 72 číslem 6.

$$x=12$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{31±41}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 41 od čísla 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{-10}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Připočítejte 60 k oběma stranám rovnice.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Odečtením čísla -60 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Odečtěte číslo -60 od čísla 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Vydělte číslo 60 číslem 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Vydělte -\frac{31}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{31}{6}. Potom přidejte čtvereček -\frac{31}{6} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{31}{6} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Přidejte uživatele 20 do skupiny \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Činitel x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Připočítejte \frac{31}{6} k oběma stranám rovnice.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$