Vyřešit 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, 5 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo 5 na druhou.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele -5 do skupiny i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo i\sqrt{83} od čísla -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Odečtěte hodnotu 9 od obou stran rovnice.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Odečtením čísla 9 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Vydělte číslo -9 číslem 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Koeficient (tj. \frac{5}{3}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali \frac{5}{6}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu \frac{5}{6}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{5}{6} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Přidejte uživatele -3 do skupiny \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Rozložte rovnici x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Odečtěte hodnotu \frac{5}{6} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$