Vyřešit 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Vyřešte pro: x

$$x=6$$

Postup řešení

Odečtěte hodnotu 2\sqrt{7-x} od obou stran rovnice.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Výpočtem 3 na 2 získáte 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x-3} na 2 získáte 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 9 číslem 2x-3.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{7-x} na 2 získáte 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Sečtením 121 a 28 získáte 149.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Odečtěte hodnotu 149-4x od obou stran rovnice.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k 149-4x, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Odečtěte 149 od -27 a dostanete -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Sloučením 18x a 4x získáte 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(22x-176\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Roznásobte \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Výpočtem -44 na 2 získáte 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{7-x} na 2 získáte 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 1936 číslem 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Odečtěte 13552 od obou stran.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Odečtěte 13552 od 30976 a dostanete 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Přidat 1936x na obě strany.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Sloučením -7744x a 1936x získáte -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 484 za a, -5808 za b a 17424 za c.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Umocněte číslo -5808 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Vynásobte číslo -1936 číslem 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Přidejte uživatele 33732864 do skupiny -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

Opakem -5808 je 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Vydělte číslo 5808 číslem 968.

$$x=6$$

Dosaďte 6 za x v rovnici 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=6 splňuje požadavky rovnice.

$$11=11$$

Rovnice 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 má jedinečné řešení.

$$x=6$$