Vyřešit 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 256x^{2}+ax+bx+1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 256 produktu.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Řešením je dvojice se součtem -32.

$$a=-16 b=-16$$

Zapište 256x^{2}-32x+1 jako: \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Vytkněte 16x z první závorky a -1 z druhé závorky.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 16x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Jestliže chcete najít řešení rovnice, vyřešte 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 256 za a, -32 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Umocněte číslo -32 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Přidejte uživatele 1024 do skupiny -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Opakem -32 je 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Vykraťte zlomek \frac{32}{512} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Vydělte obě strany hodnotou 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Dělení číslem 256 ruší násobení číslem 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Vykraťte zlomek \frac{-32}{256} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Koeficient (tj. -\frac{1}{8}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{1}{16}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{1}{16}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{16} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Připočítejte -\frac{1}{256} ke \frac{1}{256} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Rozložte rovnici x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Připočítejte \frac{1}{16} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Rovnice je teď vyřešená. Řešení jsou stejná.

$$x=\frac{1}{16}$$