Vyřešit 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 25x^{2}+ax+bx+1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 25 produktu.

$$-1,-25 -5,-5$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Řešením je dvojice se součtem -10.

$$a=-5 b=-5$$

Zapište 25x^{2}-10x+1 jako: \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

Koeficient 5x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 5x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

Jestliže chcete najít řešení rovnice, vyřešte 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 25 za a, -10 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Umocněte číslo -10 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Přidejte uživatele 100 do skupiny -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

Opakem -10 je 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Vykraťte zlomek \frac{10}{50} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 10.

$$x=\frac{1}{5}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

Vydělte obě strany hodnotou 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

Dělení číslem 25 ruší násobení číslem 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Vykraťte zlomek \frac{-10}{25} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

Vydělte -\frac{2}{5}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{5}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{5} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{5} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Připočítejte -\frac{1}{25} ke \frac{1}{25} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

Činitel x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Připočítejte \frac{1}{5} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Rovnice je teď vyřešená. Řešení jsou stejná.

$$x=\frac{1}{5}$$