Vyřešit 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(4+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 25 číslem 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 7 číslem 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 35-7x číslem 5+x a slučte stejné členy.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Sečtením 400 a 175 získáte 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Sloučením 25x^{2} a -7x^{2} získáte 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Odečtěte 295 od obou stran.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Odečtěte 295 od 575 a dostanete 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Přidat 45x^{2} na obě strany.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Sloučením 18x^{2} a 45x^{2} získáte 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 63 za a, 200 za b a 280 za c.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Umocněte číslo 200 na druhou.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Vynásobte číslo -252 číslem 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Přidejte uživatele 40000 do skupiny -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, když ± je plus. Přidejte uživatele -200 do skupiny 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Vydělte číslo -200+4i\sqrt{1910} číslem 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4i\sqrt{1910} od čísla -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Vydělte číslo -200-4i\sqrt{1910} číslem 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(4+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 25 číslem 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 7 číslem 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 35-7x číslem 5+x a slučte stejné členy.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Sečtením 400 a 175 získáte 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Sloučením 25x^{2} a -7x^{2} získáte 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Přidat 45x^{2} na obě strany.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Sloučením 18x^{2} a 45x^{2} získáte 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Odečtěte 575 od obou stran.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Odečtěte 575 od 295 a dostanete -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Vydělte obě strany hodnotou 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Dělení číslem 63 ruší násobení číslem 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Vykraťte zlomek \frac{-280}{63} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Vydělte \frac{200}{63}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{100}{63}. Potom přidejte čtvereček \frac{100}{63} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{100}{63} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Připočítejte -\frac{40}{9} ke \frac{10000}{3969} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Činitel x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Odečtěte hodnotu \frac{100}{63} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$