Vyřešit 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 24x^{2}+ax+bx+21. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 504 produktu.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Řešením je dvojice se součtem -65.

$$a=-56 b=-9$$

Zapište 24x^{2}-65x+21 jako: \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Koeficient 8x v prvním a -3 ve druhé skupině.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-7 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 3x-7=0 a 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 24 za a, -65 za b a 21 za c.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Umocněte číslo -65 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo -96 číslem 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Přidejte uživatele 4225 do skupiny -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Opakem -65 je 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{65±47}{48}, když ± je plus. Přidejte uživatele 65 do skupiny 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Vykraťte zlomek \frac{112}{48} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{65±47}{48}, když ± je minus. Odečtěte číslo 47 od čísla 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Vykraťte zlomek \frac{18}{48} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Odečtěte hodnotu 21 od obou stran rovnice.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Odečtením čísla 21 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Vydělte obě strany hodnotou 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Dělení číslem 24 ruší násobení číslem 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{-21}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Vydělte -\frac{65}{24}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{65}{48}. Potom přidejte čtvereček -\frac{65}{48} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{65}{48} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Připočítejte -\frac{7}{8} ke \frac{4225}{2304} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Činitel x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Připočítejte \frac{65}{48} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$