Vyřešit 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 24x^{2}+ax+bx+15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 360 produktu.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Řešením je dvojice se součtem -38.

$$a=-20 b=-18$$

Zapište 24x^{2}-38x+15 jako: \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Koeficient 4x v prvním a -3 ve druhé skupině.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Vytkněte společný člen 6x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 6x-5=0 a 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 24 za a, -38 za b a 15 za c.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Umocněte číslo -38 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo -96 číslem 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Přidejte uživatele 1444 do skupiny -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Opakem -38 je 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{38±2}{48}, když ± je plus. Přidejte uživatele 38 do skupiny 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Vykraťte zlomek \frac{40}{48} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{38±2}{48}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2 od čísla 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Vykraťte zlomek \frac{36}{48} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Odečtěte hodnotu 15 od obou stran rovnice.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Odečtením čísla 15 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Vydělte obě strany hodnotou 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Dělení číslem 24 ruší násobení číslem 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{-38}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{-15}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Vydělte -\frac{19}{12}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{19}{24}. Potom přidejte čtvereček -\frac{19}{24} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{19}{24} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Připočítejte -\frac{5}{8} ke \frac{361}{576} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Činitel x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Připočítejte \frac{19}{24} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$