Vyřešit 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x-3y=-2$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$2x=3y-2$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Dosaďte \frac{3y}{2}-1 za x ve druhé rovnici, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Vynásobte číslo 4 číslem \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Přidejte uživatele 6y do skupiny y.

$$7y-4=2A$$

Připočítejte 4 k oběma stranám rovnice.

$$7y=2A+4$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y-1 dosaďte y za proměnnou \frac{4+2A}{7}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Vynásobte číslo \frac{3}{2} číslem \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Přidejte uživatele -1 do skupiny \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Proveďte zjednodušení.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Odečtěte rovnici 8x+2y=4A od rovnice 8x-12y=-8 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Přidejte uživatele 8x do skupiny -8x. Členy 8x a -8x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Přidejte uživatele -12y do skupiny -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Přidejte uživatele -8 do skupiny -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Vydělte obě strany hodnotou -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

V rovnici 4x+y=2A dosaďte y za proměnnou \frac{4+2A}{7}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Odečtěte hodnotu \frac{4+2A}{7} od obou stran rovnice.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$