Vyřešit 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x-3y+10=0$$

Odečtěte hodnotu 10 od obou stran rovnice.

$$2x-3y=-10$$

Připočítejte 3y k oběma stranám rovnice.

$$2x=3y-10$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Dosaďte \frac{3y}{2}-5 za x ve druhé rovnici, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Vynásobte číslo 5 číslem \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Přidejte uživatele \frac{15y}{2} do skupiny -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Přidejte uživatele -25 do skupiny 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Připočítejte 21 k oběma stranám rovnice.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{13}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=\frac{42}{13}$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y-5 dosaďte y za proměnnou \frac{42}{13}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Vynásobte zlomek \frac{3}{2} zlomkem \frac{42}{13} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Přidejte uživatele -5 do skupiny \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 5x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 5 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Proveďte zjednodušení.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Odečtěte rovnici 10x-2y+8=0 od rovnice 10x-15y+50=0 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Přidejte uživatele 10x do skupiny -10x. Členy 10x a -10x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Přidejte uživatele -15y do skupiny 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Přidejte uživatele 50 do skupiny -8.

$$-13y+42=0$$

Odečtěte hodnotu 42 od obou stran rovnice.

$$-13y=-42$$

Vydělte obě strany hodnotou -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

V rovnici 5x-y+4=0 dosaďte y za proměnnou \frac{42}{13}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Přidejte uživatele -\frac{42}{13} do skupiny 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Odečtěte hodnotu \frac{10}{13} od obou stran rovnice.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$