Vyřešit 2x(1-x)+1-x<0

$$2 x ( 1 - x ) + 1 - x < 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem 1-x.

$$2x-2x^{2}+1-x<0$$

Sloučením 2x a -x získáte x.

$$x-2x^{2}+1<0$$

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu x-2x^{2}+1 kladný. Protože je -1 záporné, směr nerovnice se změní.

$$-x+2x^{2}-1>0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$-x+2x^{2}-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2, b hodnotou -1 a c hodnotou -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{1±3}{4} rovnice.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty x-1 a x+\frac{1}{2} buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy x-1 a x+\frac{1}{2} jsou záporné.

$$x-1<0 x+\frac{1}{2}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Předpokládejme, že oba výrazy x-1 a x+\frac{1}{2} jsou kladné.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x>1.

$$x>1$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>1$$