Vyřešit 2x^2-5x-4leq0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 4 \leq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{5-\sqrt{57}}{4},\frac{\sqrt{57}+5}{4}\end{bmatrix}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-5x-4=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2, b hodnotou -5 a c hodnotou -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{5±\sqrt{57}}{4}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{5±\sqrt{57}}{4} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{57}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{57}+5}{4}\right)\left(x-\frac{5-\sqrt{57}}{4}\right)\leq 0$$

Aby mohl být produkt ≤0, musí být jedna z hodnot x-\frac{\sqrt{57}+5}{4} a x-\frac{5-\sqrt{57}}{4} ≥0 a druhá musí být ≤0. Předpokládejme, že x-\frac{\sqrt{57}+5}{4}\geq 0 a x-\frac{5-\sqrt{57}}{4}\leq 0.

$$x-\frac{\sqrt{57}+5}{4}\geq 0 x-\frac{5-\sqrt{57}}{4}\leq 0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že x-\frac{\sqrt{57}+5}{4}\leq 0 a x-\frac{5-\sqrt{57}}{4}\geq 0.

$$x-\frac{5-\sqrt{57}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{57}+5}{4}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left[\frac{5-\sqrt{57}}{4},\frac{\sqrt{57}+5}{4}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{5-\sqrt{57}}{4},\frac{\sqrt{57}+5}{4}\end{bmatrix}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \begin{bmatrix}\frac{5-\sqrt{57}}{4},\frac{\sqrt{57}+5}{4}\end{bmatrix}$$