Vyřešit 2x^2-2x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 < 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2, b hodnotou -2 a c hodnotou -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Aby byl přípravek záporný, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} a x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} musí být opačným znaménkem. Předpokládejme, že výraz x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} je kladný a výraz x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} je záporný.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} je kladný a výraz x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} je záporný.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$