Vyřešit 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+y=1$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$2x=-y+1$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+1}{2} za x ve druhé rovnici, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Přidejte uživatele -\frac{y}{2} do skupiny -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{3}{2}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=3$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslem 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} ke -\frac{3}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=3$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-1,y=3$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Odečtěte rovnici 2x-2y=-8 od rovnice 2x+y=1 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny -2x. Členy 2x a -2x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$y+2y=1+8$$

Přidejte uživatele y do skupiny 2y.

$$3y=1+8$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny 8.

$$3y=9$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$y=3$$

V rovnici x-y=-4 dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-3=-4$$

Připočítejte 3 k oběma stranám rovnice.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=3$$