Vyřešit 2x+ky=3text{and}x+y=1

$$2 x + k y = 3 \text { and } x + y = 1$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-\frac{3-k}{k-2}$$

$$y=\frac{1}{k-2}$$

$$k\neq 2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+ky=3$$

Odečtěte hodnotu ky od obou stran rovnice.

$$2x=\left(-k\right)y+3$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(\left(-k\right)y+3\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -ky+3.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}$$

Dosaďte \frac{-ky+3}{2} za x ve druhé rovnici, x+y=1.

$$\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2}+y=1$$

Přidejte uživatele -\frac{ky}{2} do skupiny y.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y+\frac{3}{2}=1$$

Odečtěte hodnotu \frac{3}{2} od obou stran rovnice.

$$\left(-\frac{k}{2}+1\right)y=-\frac{1}{2}$$

Vydělte obě strany hodnotou -\frac{k}{2}+1.

$$y=-\frac{1}{2-k}$$

V rovnici x=\left(-\frac{k}{2}\right)y+\frac{3}{2} dosaďte y za proměnnou -\frac{1}{2-k}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\left(-\frac{k}{2}\right)\left(-\frac{1}{2-k}\right)+\frac{3}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{k}{2} číslem -\frac{1}{2-k}.

$$x=\frac{k}{2\left(2-k\right)}+\frac{3}{2}$$

Přidejte uživatele \frac{3}{2} do skupiny \frac{k}{2\left(2-k\right)}.

$$x=\frac{3-k}{2-k}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3-k}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&k\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}&-\frac{k}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}&\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-k}\times 3-\frac{k}{2-k}\\\left(-\frac{1}{2-k}\right)\times 3+\frac{2}{2-k}\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k-3}{2-k}\\-\frac{1}{2-k}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-\frac{k-3}{2-k},y=-\frac{1}{2-k}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+ky=3,x+y=1$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$2x+ky=3,2x+2y=2$$

Odečtěte rovnici 2x+2y=2 od rovnice 2x+ky=3 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2x-2x+ky-2y=3-2$$

Přidejte uživatele 2x do skupiny -2x. Členy 2x a -2x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$ky-2y=3-2$$

Přidejte uživatele ky do skupiny -2y.

$$\left(k-2\right)y=3-2$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny -2.

$$\left(k-2\right)y=1$$

Vydělte obě strany hodnotou k-2.

$$y=\frac{1}{k-2}$$

V rovnici x+y=1 dosaďte y za proměnnou \frac{1}{k-2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x+\frac{1}{k-2}=1$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{k-2} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{k-3}{k-2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{k-3}{k-2},y=\frac{1}{k-2}$$