Vyřešit 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$2x+3y=6$$

Odečtěte hodnotu 3y od obou stran rovnice.

$$2x=-3y+6$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslem -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Dosaďte -\frac{3y}{2}+3 za x ve druhé rovnici, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Vynásobte číslo 6 číslem -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Přidejte uživatele -9y do skupiny -5y.

$$-14y+18=4$$

Odečtěte hodnotu 18 od obou stran rovnice.

$$-14y=-14$$

Vydělte obě strany hodnotou -14.

$$y=1$$

V rovnici x=-\frac{3}{2}y+3 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Pokud chcete, aby byly členy 2x a 6x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 6 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Proveďte zjednodušení.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Odečtěte rovnici 12x-10y=8 od rovnice 12x+18y=36 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Přidejte uživatele 12x do skupiny -12x. Členy 12x a -12x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$18y+10y=36-8$$

Přidejte uživatele 18y do skupiny 10y.

$$28y=36-8$$

Přidejte uživatele 36 do skupiny -8.

$$28y=28$$

Vydělte obě strany hodnotou 28.

$$y=1$$

V rovnici 6x-5y=4 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$6x-5=4$$

Připočítejte 5 k oběma stranám rovnice.

$$6x=9$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$