Vyřešit 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Vyřešte pro: r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 2r^{2}+ar+br+54. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 108 produktu.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Řešením je dvojice se součtem 21.

$$a=9 b=12$$

Zapište 2r^{2}+21r+54 jako: \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Koeficient r v prvním a 6 ve druhé skupině.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Vytkněte společný člen 2r+9 s využitím distributivnosti.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2r+9=0 a r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 2 za a, 21 za b a 54 za c.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Umocněte číslo 21 na druhou.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslem 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Přidejte uživatele 441 do skupiny -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Teď vyřešte rovnici r=\frac{-21±3}{4}, když ± je plus. Přidejte uživatele -21 do skupiny 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Vykraťte zlomek \frac{-18}{4} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Teď vyřešte rovnici r=\frac{-21±3}{4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 3 od čísla -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Vydělte číslo -24 číslem 4.

$$r=-6$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Odečtěte hodnotu 54 od obou stran rovnice.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Odečtením čísla 54 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Dělení číslem 2 ruší násobení číslem 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Vydělte číslo -54 číslem 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Vydělte \frac{21}{2}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{21}{4}. Potom přidejte čtvereček \frac{21}{4} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{21}{4} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Přidejte uživatele -27 do skupiny \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Činitel r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Odečtěte hodnotu \frac{21}{4} od obou stran rovnice.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$