Vyřešit 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 2 za a, -14 za b a -54 za c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Umocněte číslo -14 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslem -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Přidejte uživatele 196 do skupiny 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Opakem -14 je 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, když ± je plus. Přidejte uživatele 14 do skupiny 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Vydělte číslo 14+2\sqrt{157} číslem 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 2\sqrt{157} od čísla 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Vydělte číslo 14-2\sqrt{157} číslem 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Připočítejte 54 k oběma stranám rovnice.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Odečtením čísla -54 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Odečtěte číslo -54 od čísla 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Dělení číslem 2 ruší násobení číslem 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Vydělte číslo -14 číslem 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Vydělte číslo 54 číslem 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Vydělte -7, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{7}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{7}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{7}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Přidejte uživatele 27 do skupiny \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Činitel x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Připočítejte \frac{7}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$