Vyřešit 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 2x^{2}+ax+bx-40. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -80 produktu.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Řešením je dvojice se součtem -11.

$$a=-16 b=5$$

Zapište 2x^{2}-11x-40 jako: \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Vytkněte 2x z první závorky a 5 z druhé závorky.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Vytkněte společný člen x-8 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-8=0 a 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 2 za a, -11 za b a -40 za c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Umocněte číslo -11 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslem -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Přidejte uživatele 121 do skupiny 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Opakem -11 je 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{11±21}{4}, když ± je plus. Přidejte uživatele 11 do skupiny 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Vydělte číslo 32 číslem 4.

$$x=8$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{11±21}{4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 21 od čísla 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Vykraťte zlomek \frac{-10}{4} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Připočítejte 40 k oběma stranám rovnice.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Odečtením čísla -40 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Odečtěte číslo -40 od čísla 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Dělení číslem 2 ruší násobení číslem 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Vydělte číslo 40 číslem 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Koeficient (tj. -\frac{11}{2}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{11}{4}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{11}{4}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{11}{4} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Přidejte uživatele 20 do skupiny \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Rozložte rovnici x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Připočítejte \frac{11}{4} k oběma stranám rovnice.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$