Vyřešit 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 18x^{2}+ax+bx-5. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -90 produktu.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Řešením je dvojice se součtem -9.

$$a=-15 b=6$$

Zapište 18x^{2}-9x-5 jako: \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Vytkněte 3x z výrazu 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Vytkněte společný člen 6x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 6x-5=0 a 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 18 za a, -9 za b a -5 za c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Umocněte číslo -9 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo -72 číslem -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Přidejte uživatele 81 do skupiny 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Opakem -9 je 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{9±21}{36}, když ± je plus. Přidejte uživatele 9 do skupiny 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Vykraťte zlomek \frac{30}{36} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{9±21}{36}, když ± je minus. Odečtěte číslo 21 od čísla 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Vykraťte zlomek \frac{-12}{36} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Připočítejte 5 k oběma stranám rovnice.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odečtením čísla -5 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Odečtěte číslo -5 od čísla 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Vydělte obě strany hodnotou 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Dělení číslem 18 ruší násobení číslem 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Vykraťte zlomek \frac{-9}{18} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Vydělte -\frac{1}{2}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{4}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{4} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{4} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Připočítejte \frac{5}{18} ke \frac{1}{16} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Činitel x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Připočítejte \frac{1}{4} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$