Vyřešit 169a^2+456a+144geq0

$$169 a ^ { 2 } + 456 a + 144 \geq 0$$

Vyřešit pro: a

$$a\in (-\infty,\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}]\cup [\frac{96\sqrt{3}-228}{169},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$169a^{2}+456a+144=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 169, b hodnotou 456 a c hodnotou 144.

$$a=\frac{-456±\sqrt{456^{2}-4\times 169\times 144}}{2\times 169}$$

Proveďte výpočty.

$$a=\frac{-456±192\sqrt{3}}{338}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte a=\frac{-456±192\sqrt{3}}{338} rovnice.

$$a=\frac{96\sqrt{3}-228}{169} a=\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$169\left(a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169}\right)\left(a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169} a a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169} jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169} a a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169} obojí ≤0.

$$a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169}\leq 0 a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení a\leq \frac{-96\sqrt{3}-228}{169}.

$$a\leq \frac{-96\sqrt{3}-228}{169}$$

Zvažte případ, kdy a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169} a a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169} obojí ≥0.

$$a-\frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\geq 0 a-\frac{96\sqrt{3}-228}{169}\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení a\geq \frac{96\sqrt{3}-228}{169}.

$$a\geq \frac{96\sqrt{3}-228}{169}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$a\leq \frac{-96\sqrt{3}-228}{169}\text{; }a\geq \frac{96\sqrt{3}-228}{169}$$