Vyřešit 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 16x^{2}+ax+bx-9. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -144 produktu.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Řešením je dvojice se součtem 10.

$$a=-8 b=18$$

Zapište 16x^{2}+10x-9 jako: \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Koeficient 8x v prvním a 9 ve druhé skupině.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-1=0 a 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 16 za a, 10 za b a -9 za c.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Umocněte číslo 10 na druhou.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -64 číslem -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Přidejte uživatele 100 do skupiny 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-10±26}{32}, když ± je plus. Přidejte uživatele -10 do skupiny 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Vykraťte zlomek \frac{16}{32} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-10±26}{32}, když ± je minus. Odečtěte číslo 26 od čísla -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Vykraťte zlomek \frac{-36}{32} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Připočítejte 9 k oběma stranám rovnice.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Odečtením čísla -9 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Odečtěte číslo -9 od čísla 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Vydělte obě strany hodnotou 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Dělení číslem 16 ruší násobení číslem 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Vykraťte zlomek \frac{10}{16} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Vydělte \frac{5}{8}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{5}{16}. Potom přidejte čtvereček \frac{5}{16} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{5}{16} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Připočítejte \frac{9}{16} ke \frac{25}{256} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Činitel x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Odečtěte hodnotu \frac{5}{16} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$