Vyřešit 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Rozložit

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Postup řešení

Vytkněte 5 před závorku.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Zvažte 3b^{2}-20b-32. Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako 3b^{2}+pb+qb-32. Pokud chcete najít p a q, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Vzhledem k tomu, že výraz pq je záporný, mají hodnoty p a q opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz p+q je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -96 produktu.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -20.

$$p=-24 q=4$$

Zapište 3b^{2}-20b-32 jako: \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Koeficient 3b v prvním a 4 ve druhé skupině.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Vytkněte společný člen b-8 s využitím distributivnosti.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Přepište celý rozložený výraz.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Umocněte číslo -100 na druhou.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -60 číslem -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Přidejte uživatele 10000 do skupiny 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

Opakem -100 je 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Teď vyřešte rovnici b=\frac{100±140}{30}, když ± je plus. Přidejte uživatele 100 do skupiny 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Vydělte číslo 240 číslem 30.

$$b=8$$

Teď vyřešte rovnici b=\frac{100±140}{30}, když ± je minus. Odečtěte číslo 140 od čísla 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Vykraťte zlomek \frac{-40}{30} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Rozložte původní výraz pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Nahraďte 8 za x_{1} a -\frac{4}{3} za x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Zjednodušte všechny výrazy ve tvaru p-\left(-q\right) na p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Připočítejte \frac{4}{3} ke b zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Vykraťte 3, tj. největším společným dělitelem pro 15 a 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Vyhodnotit

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$