Vyřešit 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 15x^{2}+ax+bx-4. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -60 produktu.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Řešením je dvojice se součtem 4.

$$a=-6 b=10$$

Zapište 15x^{2}+4x-4 jako: \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Koeficient 3x v prvním a 2 ve druhé skupině.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Vytkněte společný člen 5x-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 5x-2=0 a 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 15 za a, 4 za b a -4 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Umocněte číslo 4 na druhou.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo -60 číslem -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-4±16}{30}, když ± je plus. Přidejte uživatele -4 do skupiny 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Vykraťte zlomek \frac{12}{30} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-4±16}{30}, když ± je minus. Odečtěte číslo 16 od čísla -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Vykraťte zlomek \frac{-20}{30} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Připočítejte 4 k oběma stranám rovnice.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Odečtením čísla -4 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Odečtěte číslo -4 od čísla 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Vydělte obě strany hodnotou 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Dělení číslem 15 ruší násobení číslem 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Vydělte \frac{4}{15}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{2}{15}. Potom přidejte čtvereček \frac{2}{15} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{2}{15} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Připočítejte \frac{4}{15} ke \frac{4}{225} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Činitel x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Odečtěte hodnotu \frac{2}{15} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$