Vyřešit 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 14x^{2}+ax+bx-15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -210 produktu.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Řešením je dvojice se součtem -29.

$$a=-35 b=6$$

Zapište 14x^{2}-29x-15 jako: \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Koeficient 7x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-5=0 a 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 14 za a, -29 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Umocněte číslo -29 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Vynásobte číslo -56 číslem -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Přidejte uživatele 841 do skupiny 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Opakem -29 je 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{29±41}{28}, když ± je plus. Přidejte uživatele 29 do skupiny 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Vykraťte zlomek \frac{70}{28} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{29±41}{28}, když ± je minus. Odečtěte číslo 41 od čísla 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Vykraťte zlomek \frac{-12}{28} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Připočítejte 15 k oběma stranám rovnice.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odečtením čísla -15 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Odečtěte číslo -15 od čísla 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Vydělte obě strany hodnotou 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Dělení číslem 14 ruší násobení číslem 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Vydělte -\frac{29}{14}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{29}{28}. Potom přidejte čtvereček -\frac{29}{28} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{29}{28} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Připočítejte \frac{15}{14} ke \frac{841}{784} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Činitel x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Připočítejte \frac{29}{28} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$