Vyřešit 12x^2+11x-15=0

$$12 x ^ { 2 } + 11 x - 15 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 12x^{2}+ax+bx-15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -180 produktu.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Řešením je dvojice se součtem 11.

$$a=-9 b=20$$

Zapište 12x^{2}+11x-15 jako: \left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right)$$

Koeficient 3x v prvním a 5 ve druhé skupině.

$$3x\left(4x-3\right)+5\left(4x-3\right)$$

Vytkněte společný člen 4x-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 4x-3=0 a 3x+5=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$12x^{2}+11x-15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 12 za a, 11 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Umocněte číslo 11 na druhou.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslem -15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Přidejte uživatele 121 do skupiny 720.

$$x=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 841.

$$x=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 12.

$$x=\frac{-11±29}{24}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-11±29}{24}, když ± je plus. Přidejte uživatele -11 do skupiny 29.

$$x=\frac{18}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{18}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-11±29}{24}, když ± je minus. Odečtěte číslo 29 od čísla -11.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{-40}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 8.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+11x-15=0$$

Připočítejte 15 k oběma stranám rovnice.

$$12x^{2}+11x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odečtením čísla -15 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$12x^{2}+11x=-\left(-15\right)$$

Odečtěte číslo -15 od čísla 0.

$$12x^{2}+11x=15$$

Vydělte obě strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}+11x}{12}=\frac{15}{12}$$

Dělení číslem 12 ruší násobení číslem 12.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{15}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{15}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{5}{4}$$

Vydělte \frac{11}{12}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{11}{24}. Potom přidejte čtvereček \frac{11}{24} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{11}{24} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Připočítejte \frac{5}{4} ke \frac{121}{576} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Činitel x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{11}{24}=\frac{29}{24} x+\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Odečtěte hodnotu \frac{11}{24} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$