Vyřešit 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 12x^{2}+ax+bx+5. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 60 produktu.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Řešením je dvojice se součtem 32.

$$a=2 b=30$$

Zapište 12x^{2}+32x+5 jako: \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Vytkněte 2x z první závorky a 5 z druhé závorky.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Vytkněte společný člen 6x+1 s využitím distributivnosti.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 6x+1=0 a 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 12 za a, 32 za b a 5 za c.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Umocněte číslo 32 na druhou.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo -48 číslem 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Přidejte uživatele 1024 do skupiny -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-32±28}{24}, když ± je plus. Přidejte uživatele -32 do skupiny 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{-4}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-32±28}{24}, když ± je minus. Odečtěte číslo 28 od čísla -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Vykraťte zlomek \frac{-60}{24} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Odečtěte hodnotu 5 od obou stran rovnice.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Odečtením čísla 5 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Vydělte obě strany hodnotou 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Dělení číslem 12 ruší násobení číslem 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{32}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Koeficient (tj. \frac{8}{3}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali \frac{4}{3}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu \frac{4}{3}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{4}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Připočítejte -\frac{5}{12} ke \frac{16}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Rozložte rovnici x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Odečtěte hodnotu \frac{4}{3} od obou stran rovnice.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$