Vyřešit 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Vyřešte pro: k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 10k^{2}+ak+bk-1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -10 produktu.

$$-1,10 -2,5$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Řešením je dvojice se součtem 9.

$$a=-1 b=10$$

Zapište 10k^{2}+9k-1 jako: \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Vytkněte k z výrazu 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Vytkněte společný člen 10k-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 10k-1=0 a k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 10 za a, 9 za b a -1 za c.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Umocněte číslo 9 na druhou.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo -40 číslem -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Přidejte uživatele 81 do skupiny 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Teď vyřešte rovnici k=\frac{-9±11}{20}, když ± je plus. Přidejte uživatele -9 do skupiny 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Vykraťte zlomek \frac{2}{20} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Teď vyřešte rovnici k=\frac{-9±11}{20}, když ± je minus. Odečtěte číslo 11 od čísla -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Vydělte číslo -20 číslem 20.

$$k=-1$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Připočítejte 1 k oběma stranám rovnice.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odečtením čísla -1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Odečtěte číslo -1 od čísla 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Vydělte obě strany hodnotou 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Dělení číslem 10 ruší násobení číslem 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Vydělte \frac{9}{10}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{9}{20}. Potom přidejte čtvereček \frac{9}{20} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{9}{20} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Připočítejte \frac{1}{10} ke \frac{81}{400} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Činitel k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Odečtěte hodnotu \frac{9}{20} od obou stran rovnice.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$