Vyřešit 1+(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=2^x

$$1 + ( 2 + 1 ) ( 2 ^ { 2 } + 1 ) ( 2 ^ { 4 } + 1 ) ( 2 ^ { 8 } + 1 ) = 2 ^ { x }$$

Vyřešte pro: x

$$x=16$$

Postup použití definice logaritmu

Sečtením 2 a 1 získáte 3.

$$1+3\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Výpočtem 2 na 2 získáte 4.

$$1+3\left(4+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Sečtením 4 a 1 získáte 5.

$$1+3\times 5\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Vynásobením 3 a 5 získáte 15.

$$1+15\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Výpočtem 2 na 4 získáte 16.

$$1+15\left(16+1\right)\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Sečtením 16 a 1 získáte 17.

$$1+15\times 17\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Vynásobením 15 a 17 získáte 255.

$$1+255\left(2^{8}+1\right)=2^{x}$$

Výpočtem 2 na 8 získáte 256.

$$1+255\left(256+1\right)=2^{x}$$

Sečtením 256 a 1 získáte 257.

$$1+255\times 257=2^{x}$$

Vynásobením 255 a 257 získáte 65535.

$$1+65535=2^{x}$$

Sečtením 1 a 65535 získáte 65536.

$$65536=2^{x}$$

Přehoďte strany rovnice tak, aby všechny proměnné byly na její levé straně.

$$2^{x}=65536$$

Vypočítejte logaritmus obou stran rovnice.

$$\log(2^{x})=\log(65536)$$

Logaritmus umocněného čísla je mocnitel vynásobený logaritmem daného čísla.

$$x\log(2)=\log(65536)$$

Vydělte obě strany hodnotou \log(2).

$$x=\frac{\log(65536)}{\log(2)}$$

Použijte vzorec pro změnu základu logaritmu \frac{\log(a)}{\log(b)}=\log_{b}\left(a\right).

$$x=\log_{2}\left(65536\right)$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{2\pi n_{1}i}{\ln(2)}+16$$

$$n_{1}\in \mathrm{Z}$$