Vyřešit -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -4 za a, 20 za b a -47 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Umocněte číslo 20 na druhou.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 16 číslem -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Přidejte uživatele 400 do skupiny -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, když ± je plus. Přidejte uživatele -20 do skupiny 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Vydělte číslo -20+4i\sqrt{22} číslem -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4i\sqrt{22} od čísla -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Vydělte číslo -20-4i\sqrt{22} číslem -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Připočítejte 47 k oběma stranám rovnice.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Odečtením čísla -47 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Odečtěte číslo -47 od čísla 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Dělení číslem -4 ruší násobení číslem -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Vydělte číslo 20 číslem -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Vydělte číslo 47 číslem -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Vydělte -5, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{5}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{5}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Připočítejte -\frac{47}{4} ke \frac{25}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Činitel x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Připočítejte \frac{5}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$