Vyřešit -x^2+14x-40=0

$$- x ^ { 2 } + 14 x - 40 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=4$$

$$x=10$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -x^{2}+ax+bx-40. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=14 ab=-\left(-40\right)=40$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 40 produktu.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

Řešením je dvojice se součtem 14.

$$a=10 b=4$$

Zapište -x^{2}+14x-40 jako: \left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right)$$

Koeficient -x v prvním a 4 ve druhé skupině.

$$-x\left(x-10\right)+4\left(x-10\right)$$

Vytkněte společný člen x-10 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-10\right)\left(-x+4\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-10=0 a -x+4=0.

$$x=10 x=4$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, 14 za b a -40 za c.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo 14 na druhou.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslem -40.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 196 do skupiny -160.

$$x=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 36.

$$x=\frac{-14±6}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-14±6}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-14±6}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -14 do skupiny 6.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Vydělte číslo -8 číslem -2.

$$x=4$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-14±6}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo 6 od čísla -14.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Vydělte číslo -20 číslem -2.

$$x=10$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=4 x=10$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Připočítejte 40 k oběma stranám rovnice.

$$-x^{2}+14x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Odečtením čísla -40 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$-x^{2}+14x=-\left(-40\right)$$

Odečtěte číslo -40 od čísla 0.

$$-x^{2}+14x=40$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{40}{-1}$$

Dělení číslem -1 ruší násobení číslem -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{40}{-1}$$

Vydělte číslo 14 číslem -1.

$$x^{2}-14x=\frac{40}{-1}$$

Vydělte číslo 40 číslem -1.

$$x^{2}-14x=-40$$

Vydělte -14, koeficient x termínu 2 k získání -7. Potom přidejte čtvereček -7 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Umocněte číslo -7 na druhou.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Přidejte uživatele -40 do skupiny 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Činitel x^{2}-14x+49. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Připočítejte 7 k oběma stranám rovnice.

$$x=10 x=4$$