Vyřešit -5x^2+9x+2>0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu -5x^{2}+9x+2 kladný. Protože je -1 záporné, směr nerovnice se změní.

$$5x^{2}-9x-2<0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-9x-2=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 5, b hodnotou -9 a c hodnotou -2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{9±11}{10}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{9±11}{10} rovnice.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)<0$$

Aby byl přípravek záporný, x-2 a x+\frac{1}{5} musí být opačným znaménkem. Předpokládejme, že výraz x-2 je kladný a výraz x+\frac{1}{5} je záporný.

$$x-2>0 x+\frac{1}{5}<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x+\frac{1}{5} je kladný a výraz x-2 je záporný.

$$x+\frac{1}{5}>0 x-2<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(-\frac{1}{5},2\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$