Vyřešit -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu -3x^{2}+5x+2 kladný. Protože je -1 záporné, směr nerovnice se změní.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 3, b hodnotou -5 a c hodnotou -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{5±7}{6} rovnice.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Aby mohl být produkt ≤0, musí být jedna z hodnot x-2 a x+\frac{1}{3} ≥0 a druhá musí být ≤0. Předpokládejme, že x-2\geq 0 a x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že x-2\leq 0 a x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$