Vyřešit -2x^2+47x+5=275

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

Vyřešte pro: x

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 275 od obou stran.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Odečtěte 275 od 5 a dostanete -270.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako -2x^{2}+ax+bx-270. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 540 produktu.

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

Řešením je dvojice se součtem 47.

$$a=27 b=20$$

Zapište -2x^{2}+47x-270 jako: \left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right).

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

Koeficient -x v prvním a 10 ve druhé skupině.

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-27 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-27=0 a -x+10=0.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Odečtěte hodnotu 275 od obou stran rovnice.

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

Odečtením čísla 275 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Odečtěte číslo 275 od čísla 5.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -2 za a, 47 za b a -270 za c.

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Umocněte číslo 47 na druhou.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -2.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 8 číslem -270.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

Přidejte uživatele 2209 do skupiny -2160.

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 49.

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -2.

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-47±7}{-4}, když ± je plus. Přidejte uživatele -47 do skupiny 7.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Vydělte číslo -40 číslem -4.

$$x=10$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-47±7}{-4}, když ± je minus. Odečtěte číslo 7 od čísla -47.

$$x=-\frac{54}{-4}$$

Vykraťte zlomek \frac{-54}{-4} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{27}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Odečtěte hodnotu 5 od obou stran rovnice.

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

Odečtením čísla 5 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

Odečtěte číslo 5 od čísla 275.

$$-2x^{2}+47x=270$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

Dělení číslem -2 ruší násobení číslem -2.

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

Vydělte číslo 47 číslem -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

Vydělte číslo 270 číslem -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

Vydělte -\frac{47}{2}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{47}{4}. Potom přidejte čtvereček -\frac{47}{4} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{47}{4} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

Přidejte uživatele -135 do skupiny \frac{2209}{16}.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

Činitel x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

Připočítejte \frac{47}{4} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$