Vyřešit -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu -2x^{2}+12x-14 kladný. Protože -1 je <0, směr nerovnice se změní.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 2, b hodnotou -12 a c hodnotou 14.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Řešení rovnice x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} při ± je plus a při ± je mínus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pokud má součin představovat záporné číslo, musí mít hodnoty x-\left(\sqrt{2}+3\right) a x-\left(3-\sqrt{2}\right) opačná znaménka. Předpokládejme, že výraz x-\left(\sqrt{2}+3\right) je kladný a výraz x-\left(3-\sqrt{2}\right) je záporný.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x-\left(3-\sqrt{2}\right) je kladný a výraz x-\left(\sqrt{2}+3\right) je záporný.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$