Vyřešit -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Rozložit

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Postup řešení

Vytkněte 4 před závorku.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Zvažte -4t^{2}+24t-27. Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako -4t^{2}+at+bt-27. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 108 produktu.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Řešením je dvojice se součtem 24.

$$a=18 b=6$$

Zapište -4t^{2}+24t-27 jako: \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Koeficient -2t v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Vytkněte společný člen 2t-9 s využitím distributivnosti.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Přepište celý rozložený výraz.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Umocněte číslo 96 na druhou.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Vynásobte číslo 64 číslem -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Přidejte uživatele 9216 do skupiny -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Teď vyřešte rovnici t=\frac{-96±48}{-32}, když ± je plus. Přidejte uživatele -96 do skupiny 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Vykraťte zlomek \frac{-48}{-32} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Teď vyřešte rovnici t=\frac{-96±48}{-32}, když ± je minus. Odečtěte číslo 48 od čísla -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Vykraťte zlomek \frac{-144}{-32} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Rozložte původní výraz pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Nahraďte \frac{3}{2} za x_{1} a \frac{9}{2} za x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Odečtěte zlomek \frac{3}{2} od zlomku t tak, že najdete společného jmenovatele a odečtete čitatele. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Odečtěte zlomek \frac{9}{2} od zlomku t tak, že najdete společného jmenovatele a odečtete čitatele. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Vynásobte zlomek \frac{-2t+3}{-2} zlomkem \frac{-2t+9}{-2} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo -2 číslem -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Vykraťte 4, tj. největším společným dělitelem pro -16 a 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Vyhodnotit

$$-16t^{2}+96t-108$$