Vyřešit -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -\frac{1}{3} číslem x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} číslem x-\frac{1}{3} a slučte stejné členy.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Vynásobte nerovnici -1, aby byl koeficient nejvyšší mocniny ve výrazu -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} kladný. Protože je -1 záporné, směr nerovnice se změní.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou \frac{1}{3}, b hodnotou \frac{5}{9} a c hodnotou -\frac{2}{9}.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Aby byl přípravek záporný, x-\frac{1}{3} a x+2 musí být opačným znaménkem. Předpokládejme, že výraz x-\frac{1}{3} je kladný a výraz x+2 je záporný.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x+2 je kladný a výraz x-\frac{1}{3} je záporný.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$