Vyřešit (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Postup řešení

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -6 a c hodnotou 7.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Řešení rovnice x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} při ± je plus a při ± je mínus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pokud má součin představovat záporné číslo, musí mít hodnoty x-\left(\sqrt{2}+3\right) a x-\left(3-\sqrt{2}\right) opačná znaménka. Předpokládejme, že výraz x-\left(\sqrt{2}+3\right) je kladný a výraz x-\left(3-\sqrt{2}\right) je záporný.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x-\left(3-\sqrt{2}\right) je kladný a výraz x-\left(\sqrt{2}+3\right) je záporný.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$