Vyřešit (x-2)^3=64

$$( x - 2 ) ^ { 3 } = 64$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=6$$

$$x=2\sqrt{3}i\approx 3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i\approx -0-3,464101615i$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-2\right)^{3} podle binomické věty \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

Odečtěte 64 od obou stran.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

Odečtěte 64 od -8 a dostanete -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -72 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=6$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-6x^{2}+12x-72 číslem x-6 a dostanete x^{2}+12. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+12=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 0 a c hodnotou 12.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}+12=0 rovnice.

$$x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=6 x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

Vyřešte pro: x

$$x=6$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-2\right)^{3} podle binomické věty \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

Odečtěte 64 od obou stran.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

Odečtěte 64 od -8 a dostanete -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -72 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=6$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-6x^{2}+12x-72 číslem x-6 a dostanete x^{2}+12. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+12=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 0 a c hodnotou 12.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=6$$