Vyřešit (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Vyřešit pro: x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Postup řešení

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -4 a c hodnotou -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} rovnice.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být x-\left(\sqrt{7}+2\right) a x-\left(2-\sqrt{7}\right) jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy x-\left(\sqrt{7}+2\right) a x-\left(2-\sqrt{7}\right) obojí ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Zvažte případ, kdy x-\left(\sqrt{7}+2\right) a x-\left(2-\sqrt{7}\right) obojí ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$