Vyřešit (x-1)^3=-27

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = - 27$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=\frac{5+3\sqrt{3}i}{2}\approx 2,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2,5-2,598076211i$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{3} podle binomické věty \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

Přidat 27 na obě strany.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

Sečtením -1 a 27 získáte 26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 26 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±26,±13,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-2$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-3x^{2}+3x+26 číslem x+2 a dostanete x^{2}-5x+13. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -5 a c hodnotou 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x^{2}-5x+13=0 rovnice.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=-2 x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

Vyřešte pro: x

$$x=-2$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{3} podle binomické věty \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

Přidat 27 na obě strany.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

Sečtením -1 a 27 získáte 26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 26 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±26,±13,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-2$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo x^{3}-3x^{2}+3x+26 číslem x+2 a dostanete x^{2}-5x+13. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -5 a c hodnotou 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=-2$$