Vyřešit (x-1)^3=54/2

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = \frac { 54 } { 2 }$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=4$$

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-2,598076211i$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{3} podle binomické věty \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Vydělte číslo 54 číslem 2 a dostanete 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Odečtěte 27 od obou stran.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Odečtěte 27 od -1 a dostanete -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -28 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=4$$

Podle definice kořenového činitele představuje x-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo x^{3}-3x^{2}+3x-28 číslem x-4 a dostanete x^{2}+x+7. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 1 a c hodnotou 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Řešení rovnice x^{2}+x+7=0 při ± je plus a při ± je mínus.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=4 x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Vyřešte pro: x

$$x=4$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-1\right)^{3} podle binomické věty \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Vydělte číslo 54 číslem 2 a dostanete 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Odečtěte 27 od obou stran.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Odečtěte 27 od -1 a dostanete -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -28 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 1. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=4$$

Podle definice kořenového činitele představuje x-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo x^{3}-3x^{2}+3x-28 číslem x-4 a dostanete x^{2}+x+7. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou 1 a c hodnotou 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$x\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$x=4$$