Vyřešit (x-3/2)^2+2x(x-1/2)<3(x^2+1/4)

$$( x - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } + 2 x ( x - \frac { 1 } { 2 } ) < 3 ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } )$$

Vyřešit pro: x

$$x>\frac{3}{8}$$

Postup řešení

Rozviňte výraz \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}+2x\left(x-\frac{1}{2}\right)<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2x číslem x-\frac{1}{2}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}+2x^{2}-x<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Sloučením x^{2} a 2x^{2} získáte 3x^{2}.

$$3x^{2}-3x+\frac{9}{4}-x<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

Sloučením -3x a -x získáte -4x.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}<3\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 3 číslem x^{2}+\frac{1}{4}.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}<3x^{2}+\frac{3}{4}$$

Odečtěte 3x^{2} od obou stran.

$$3x^{2}-4x+\frac{9}{4}-3x^{2}<\frac{3}{4}$$

Sloučením 3x^{2} a -3x^{2} získáte 0.

$$-4x+\frac{9}{4}<\frac{3}{4}$$

Odečtěte \frac{9}{4} od obou stran.

$$-4x<\frac{3}{4}-\frac{9}{4}$$

Odečtěte \frac{9}{4} od \frac{3}{4} a dostanete -\frac{3}{2}.

$$-4x<-\frac{3}{2}$$

Vydělte obě strany hodnotou -4. Protože je -4 záporné, směr nerovnice se změní.

$$x>\frac{-\frac{3}{2}}{-4}$$

Vyjádřete \frac{-\frac{3}{2}}{-4} jako jeden zlomek.

$$x>\frac{-3}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobením 2 a -4 získáte -8.

$$x>\frac{-3}{-8}$$

Zlomek \frac{-3}{-8} se dá zjednodušit na \frac{3}{8} odstraněním záporného znaménka z čitatele i jmenovatele.

$$x>\frac{3}{8}$$