Vyřešit (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Vyřešte pro: x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(x+3\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zvažte \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 8 na druhou.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Roznásobte \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Výpočtem 3 na 2 získáte 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sloučením x^{2} a 9x^{2} získáte 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Odečtěte 64 od 9 a dostanete -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sečtením -55 a 1 získáte -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 3 číslem x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Odečtěte 3x^{2} od obou stran.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Sloučením 10x^{2} a -3x^{2} získáte 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Odečtěte 9x od obou stran.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Sloučením 6x a -9x získáte -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Odečtěte 18 od obou stran.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Odečtěte 18 od -54 a dostanete -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 7x^{2}+ax+bx-72. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -504 produktu.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Řešením je dvojice se součtem -3.

$$a=-24 b=21$$

Zapište 7x^{2}-3x-72 jako: \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Koeficient x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Vytkněte společný člen 7x-24 s využitím distributivnosti.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 7x-24=0 a x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(x+3\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zvažte \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 8 na druhou.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Roznásobte \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Výpočtem 3 na 2 získáte 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sloučením x^{2} a 9x^{2} získáte 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Odečtěte 64 od 9 a dostanete -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sečtením -55 a 1 získáte -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 3 číslem x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Odečtěte 3x^{2} od obou stran.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Sloučením 10x^{2} a -3x^{2} získáte 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Odečtěte 9x od obou stran.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Sloučením 6x a -9x získáte -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Odečtěte 18 od obou stran.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Odečtěte 18 od -54 a dostanete -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 7 za a, -3 za b a -72 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Umocněte číslo -3 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslem -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Přidejte uživatele 9 do skupiny 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Opakem -3 je 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{3±45}{14}, když ± je plus. Přidejte uživatele 3 do skupiny 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Vykraťte zlomek \frac{48}{14} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{3±45}{14}, když ± je minus. Odečtěte číslo 45 od čísla 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Vydělte číslo -42 číslem 14.

$$x=-3$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(x+3\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zvažte \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocněte číslo 8 na druhou.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Roznásobte \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Výpočtem 3 na 2 získáte 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sloučením x^{2} a 9x^{2} získáte 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Odečtěte 64 od 9 a dostanete -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sečtením -55 a 1 získáte -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x číslem x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 3 číslem x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Odečtěte 3x^{2} od obou stran.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Sloučením 10x^{2} a -3x^{2} získáte 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Odečtěte 9x od obou stran.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Sloučením 6x a -9x získáte -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Přidat 54 na obě strany.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Sečtením 18 a 54 získáte 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Dělení číslem 7 ruší násobení číslem 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Vydělte -\frac{3}{7}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{3}{14}. Potom přidejte čtvereček -\frac{3}{14} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{3}{14} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Připočítejte \frac{72}{7} ke \frac{9}{196} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Činitel x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Připočítejte \frac{3}{14} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$